1강

8월 30일 (수)

프레네 이론

단위속력곡선 재매개화 프레네장치 곡률과 비틀림 접촉평면 등

차 시 계 획
2주	09.05~09.09	에 놓인 곡선의 기하학
월	6,7교시	곡률과 비틀림의 계산
수	7,8교시	곡률과 비틀림의 성질	1차 퀴즈
3주	09.12~09.16	에 놓인 곡선의 기하학
월	6,7교시		추석연휴
수	7,8교시	곡률과 비틀림의 의미	1차 보고서

(지난시간 못 다한 이야기: 평면곡선의 곡률 = 접원의 반지름의 역수)

1. 에 놓인 곡 선

정의.(곡선, 정칙곡선) 미분가능한 함수 를 의 곡선이라 한다. 의 미분이 모든 점에서 0이 되지 않을 때, 즉, 일 때 를 (위의) 정칙곡선(regular curve)라 한다.

주1. 매개변수곡선

주2. , 성분함수, (유클리드)좌표함수, 매개변수

주3. 곡선의 매개화, 곡선의 재매개화

주4.(정칙성의 의미) 미분가능한 함수의 상이 항상 접선을 갖는 것은 아니다.

예) 이라 하면 는 미분가능한 함수이다. 그러나 의 상(image)은 함수

의 그래프와 같으므로 원점에서 접선을 갖지 않는다.

주5. 정칙곡선의 상은 모든 점에서 접선을 갖는다.

(엉터리(?) 설명: 곡선 위의 한 점 에서 접선의 방정식은

이다.

바른 설명: 접선의 정의를 고려한다. 곡선위의 두 점 와 을 연결하는 직선의 식은

이다. 일 때 이 직선족의 극한이 접선이며, 그 극한이 존재하기 위한 충분조건이 이다.)

정리.(단위속력곡선 재 매개화) 임의의 정칙곡선은 단위속력곡선으로 재매개화가 가능하다.

주1. 호길이 함수(arc-length function) 곡선 에 대하여 함수 ,

를 의 호길이 함수(또는 호장함수)(arc-length function)라 한다.

주2. 일반적으로 호길이 함수는 시간이 에서 까지 변하는 동안 동점이 움직인 길이이며, 가 일대일인 경우 곡선 의 길이와 일치한다.

예. 두 곡선 , , 에 대하여 곡선 의 호길이 는 곡선 의 호길이 의 두 배이다. 즉, 이다.

예제.(꽈배기선(herix)) 곡선 에 대하여 다음 물음에 답하여라.

1. 곡선 를 그려보아라.

2. 두 상수 와 가 변할 때 곡선 의 변화를 설명하여라.

3. (곡선 위의) 두 점 와 사이에 놓인 의 길이를 구하여라.

4. 의 단위속력재매개화를 구하여라.

5. 점 에서 곡선 의 접선의 식을 구하여라.

주3. 곡선 에 대하여

속도(벡터): 속력: 가속도(벡터):

로 정의한다. 이 때 다음이 성립한다.

는 일정한 속력을 갖는다.

속도벡터와 가속도 벡터는 모든 점에서 서로 수직이다.

문제. 미분가능한 실함수 와 곡선 에 대하여 새로운 곡선 를 로 정의한다. 에 따른 곡선 와 의 차이점과 유사점을 설명하여라. (주. 가 미분동형일 때 를 의 재매개화(reparametrization)이라 한다.)

2. 프레네 이론

단위 속력을 갖는 정칙곡선 , 에 대하여 먼저 이론을 전개한다.

곡선을 따라 움직이는 틀장(moving frame)을 생각하자.(프레네 틀장)

, 단위 접벡터장(tangent vector field)

, 단위 법벡터장(nomal vector field)

, 단위 양법벡터장(binomal vector field)

프레네의 idea:

세 벡터장 의 변화하는 모습이 곡선의 모습과 긴밀하게 관련 있을 것이다.

즉, 세 벡터장의 변화 를 살펴보면, 곡선의 모습을 기술 할 수 있을 것이다.

정의(곡률) 를 (점 에서의) 곡선의 곡률이라 한다.

주1. 단위속력곡선이 아닐 경우, 단위속력곡선으로 재 매개화한 후 곡률을 계산할 수 있다. 뒤에 단위속력곡선 재 매개화 과정 없이 곡률을 구하는 방법을 소개할 것이다.

주2. 평면곡선의 경우

곡률 = 1 / (접원의 반지름)

의 기하적 의미를 갖고 있다.

주3.(접원: tangent circle)

곡선 위의 한 점 에서의 접원은 세 점 , , 을 지나는 원의 극한으로 정의된다. 즉, 세 점 , , 을 지나는 원 에 대하여 극한원 을 접원이라 한다. 접원의 중심과 반지름을 구하여 보자.

접원의 중심: 선분 의 수직이등분선 과 선분 의 수직이등분선 의 교점의 극한

의 식:

의 식:

접원의 반지름:

정리.(프레네-세레 공식)

예제.(꽈배기선(herix)) 곡선 의 각 점에서의 곡률과 비틀림을 구하여라.

예제. 기하적인 곡선의 곡률을 구하는 문제.

타원 위의 점 과 에서의 곡률을 구하여라.

주1. 틀을 한 번에 보는 방법: 자세행렬(attitude matrix)

주2. 접촉평면(osculating plane: 으로 만들어 지는 평면

법평면(normal plane): 로 만들어 지는 평면

전직평면(rectifying plane): 로 만들어 지는 평면