해석학 입문 2차 퀴즈 시험지(03.21)

1. 다음은 실수의 부분집합 의 집적점(accumulation point)에 관한 정의이다. 괄호 안에 알맞은 내용을 제시하여라.(하, 8점(각2점))

: 의 집적점(accumulation point) ( ㉠ ) , ( ㉡ ) s.t. ( ㉠ ) ,

2. 다음 각각의 에 대하여 도집합을 구하여라. (중하, 12점(각3점))

2-1.

2-2.

2-3.

2-4. 일 때,

3. 실수의 부분집합 에 대한 다음 각 명제의 참•거짓을 판정하여라. (중, 12(각3점))

3-1.

3-2.

3-3.

3-4.

4. 다음은 “점 가 집합 의 집적점일 필요충분조건은 부등식 , 을 만족시키는 에서의 점열이 존재하는 것이다.”를 증명하는 과정이다. 빈 칸에 적당한 내용은?(중, 8점(각 2점씩))

증명) 가 의 집적점이라 하자. 집적점의 정의에 의하여, 각 자연수 에 대하여 이다. 의 원소를 이라고 하면, 점열 은 모든 자연수 에 대하여 두 조건

(i) , (ii)

을 만족한다.

() 을 임의의 실수라 하고 조건 을 만족시키는 의 점열 을 생각하자. 임의의 양수 에 대하여 인 자연수 을 택하면

이다. 이므로 는 공집합이 아니다. 따라서 는 의 집적점이다.

5. 다음 과정을 생각하자.

닫힌구간 에서 출발 하고, 열린구간을 제거한다. 두 구간 과 이 남는데, 각각의 소구간들을 다시 3등분하여 가운데 열린구간을 제거한다. 이런 과정을 한없이 반복하는데, 각 단계에서는 그 전 단계에서 남은 각 구간들을 3등분하여 가운데 열린구간을 제거한다.

칸토어(Contour) 집합은 이런 과정을 무한히 반복한 후 남는 의 점들 전체의 집합이다. 칸토어 집합 에 관한 다음 물음에 답하여라.

5-1. 의 도집합을 구하여라. (상 4점)

5-2. 의 내부 을 구하여라. (중 3점)

5-3. 는 폐집합임을 보여라. (중 3점)

해석학 입문 2차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1	㉠		㉡	㉢		㉣
2	2-1			2-2
	2-3			2-4
3	3-1.			3-2.
	3-3.			3-4.
4	㉠		㉡	㉢		㉣
5	5-1
	5-2
	5-3