2025학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
3차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [eqn: t`]가 양수일 때, 좌표평면의 영역 [eqn: D(t)`]를

[eqn: D(t)`=`lbrace(x,``y)`in`VecR^2``|`-4le xy le5,``t le x le 2t+3rbrace]

이라 하고, 이 영역의 경계를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 [eqn: C`(t)`]라고 하자. 영역 [eqn: D`(t)`]의 넓이가 [eqn: 9`]일 때, [eqn: t`]의 값과 선적분 [eqn: int_{C`(t)}{``(2x-3y)`dx`+`(5x+7y)`dy}`]의 값을 순서대로 구하시오. [2점]

2. 함수 [eqn: f:VecR`->`VecR`]이

[eqn: f(x)=cases{`x+root{5}of{x^6}`cos it{1}over{x}`,~~&x!=0#~~~~~``0`,&x`=0}]

이라고 하자. 함수 [eqn: f`]의 도함수 [eqn: f`'`]을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소수 [eqn: z=x+iy`]([eqn: x,``y`]는 실수)에 대한 함수

[eqn: f(z)=e^-x cosy+iv(x,``y)] (단, [eqn: v(x,``y)`]는 실숫값 함수)

가 정함수(전해석함수, entire function)이고 [eqn: f(0)=1+i`]를 만족시킬 때, [eqn: f(z)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

2. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,inf) `rarrow` VecR `]이

[eqn: f_n (x)= cases{- x over {lbrace n ln(37n)rbrace^2} + 1over{n^2 ln(37n)},``&0le x le \ln it(37n) #~&~ #~~~~~~~~~~~~``0,&`x`>ln(37n)}]

일 때, 함수항 급수 [eqn: sum_{n=1}^inf f_{n}(x)]가 [eqn: [0,`inf)]에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. [eqn: 0le t le1]일 때, 좌표평면의 영역 [eqn: D(t)=left{(x,`y)`left|`x ge0,`y ge0,``x^2 +y^2 le1,``x+y ge t`right}right.] 와 함수 [eqn: f(x,`y)=root{|9x^2 +9y^2 -1|}]에 대하여 [eqn: g(t)=dint_D(t){f(x,`y)}dxdy]라 하자. [eqn: g(0)]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [5점] 4. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_n =int_0^1{(2-x^2 )^n dx] 일 때, [eqn: 1over45 sum_{n=1}^2025 1over{(2n+3)a_n+1 -4(n+1)a_n}]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]	5. 실숫값을 갖는 두 함수 [eqn: u(x,`y)], [eqn: v(x,`y)]와 복소수 [eqn: z=x+iy] [eqn: (x,`y는```실수)]에 대하여 복소함수 해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과 [eqn: f(z)=u(x,`y)+iv(x,`y)] 는 정함수(전해석함수, entire function)이다. [eqn: bar{f(barz )}=U(x,`y)+iV`(x,`y)] 일 때, [eqn: U_ y (1,`2)`=`-u_y (1,-2)]임을 보이시오. [4점]