2025학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
3차 시험	4교시 기타	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 수열 [eqn: lbrace a_n rbrace]이

[eqn: a_{0} =2,~a _{n+1} =`-2(n+1)a _{n} +(n+1)!~(`n GEQ 0)]

을 만족시킨다. [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n!} ~(n GEQ 0)`]인 수열 [eqn: □b_{n} □]의 생성함수(generating function) [eqn: f(x)`]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 수열 [eqn: lbrace b_n rbrace]의 일반항 [eqn: b_n`]을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

[서술형, 4점]

2. 집합 [eqn: A= LEFT { 0,1,2 RIGHT }]는 이산위상 [eqn: D]를 가진다. 실수 집합 [eqn: VecR]의 부분집합 [eqn: X,Y,Z``]를

[eqn: X=(- INF ,-1)], [eqn: Y=[-1,1]], [eqn: Z=(1, INF )]

라 하고, 함수 [eqn: f: VecR ` rarrow `A]을

[eqn: f(x)= {cases{``0,&```x` IN `X,#``1,&```x` IN Y,#``2,&```x` IN `Z}}]

로 정의하자. [eqn: VecR] 상의 위상 [eqn: IMAG]를 [eqn: IMAG = LEFT { f ^{-1`} (G)`|`G` IN `D RIGHT }]으로 정의할 때 위상공간 [eqn: (VecR, IMAG)]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [서술형, 6점]

(1) 점렬 [eqn: LEFT < (-1) ^{n} RIGHT >] 의 수렴성을 판단하고 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오.[3점]

(2) 집합 [eqn: P= LEFT { -2,2 RIGHT }]의 도집합을 구하시오.[3점]

3. 서로 독립인 확률변수 [eqn: X_1 ,``X_2 ,``cdots,``X_100]이 모두 표준정규분포 [eqn: N`(`0,``1)]을 따른다. 확률변수 [eqn: Y]를 [eqn: Y`=`sum_{k=1}^100`X_k`]라고 하면 [eqn: \P(itY ge-4)= \P(itX_50 le a)]를 만족시키는 실수 [eqn: a]가 존재한다. 이때, [eqn: Y]의 분산 [eqn: \V(itY`)]와 [eqn: a]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점]

4. 두 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 결합확률밀도함수(joint probability density function)가

[eqn: f(`x,``y)= {cases{``1over root2pi e^{- 1over2 (x+y^2 )},~&x>0,~y>0#&#~~~~~~~`0,&그``외의``경우}}]

일때, [eqn: X`]의 주변확률밀도함수 [eqn: f_X`(x)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

※ 다음은 필요하면 사용할 수 있다.

[eqn: int_0^inf{e^{- t^2over2}`}dt`= root{piover2}]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에 놓인 곡면 [eqn: M ``]위의 점 [eqn: p]에서 다음이 성립한다.

(ㄱ) 가우스곡률 [eqn: K(p) = -1]이고 평균곡률 [eqn: H(p) `=` 0]이다.

(ㄴ) 점 [eqn: p]에서의 단위접벡터 [eqn: bold{rm u }]는 점 [eqn: p`]에서의 주요벡터이다.

(ㄷ) 점 [eqn: p]에서의 단위접벡터 [eqn: bold{rm v }]가 [eqn: bold{rm u }]와 이루는 각은 [eqn: {pi } over {3}]이다.

곡면 [eqn: M ``]의 점 [eqn: p`]에서 [eqn: bold{rm v }]방향의 법곡률 [eqn: k_n (bold{rm v } )]을 구하시오.(기입형, 2점)

6. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에서 곡선 [eqn: boldalpha]를 두 곡면

[eqn: M _{1} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert `z^2 `=` x ^{2} +y ^{2}`,``z>0 RIGHT } ,# M _{2} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert `x+y+z = 2 RIGHT }]

의 교선을 [eqn: {bold{alpha }}]라 하자. 곡면 [eqn: M_1]위에 곡선으로서 [eqn: {bold{alpha }}]의 점[eqn: p`=`LEFT ( 1,`0,` 1} RIGHT )]에서의 측지곡률을 [eqn: kappa _{g} (p)]이라 할 때, [eqn: LEFT | kappa _{g}RIGHT |]의 값을 구하시오. (서술형, 3점)

7. [eqn: VecR ^{3}]에 놓인 쌍곡면 [eqn: M ``:``z `=` xy]의 좌표조각 [eqn: bold {\ x} = bold {\ x} (u,v)]을 제시하고, 기저 [eqn: {bold {\ x}}_u ,] [eqn: {bold {\ x}}_v]에 관한 [eqn: M ``]의 형작용소(shape operator)의 [eqn: (+-)]행렬표현을 구하시오. (서술형, 3점)

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                    목원대학교 수학교육과